秒股票的最佳时机系列 | LeetCode-121 | 动态规划

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动态规划练习题

题目1：121. 买卖股票的最佳时机

1.题目描述

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

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输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

示例 2：

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输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

提示：

  • $1 <= prices.length <= 10^5$
  • $0 <= prices[i] <= 10^4$

2.题解

题目2：122. 买卖股票的最佳时机 II

1.题目描述

给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

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输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3。
最大总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

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输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4。
最大总利润为 4 。

示例 3：

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3
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0。

提示：

  • $1 <= prices.length <= 3 * 10^4$
  • $0 <= prices[i] <= 10^4$

2.题解

题目3：123. 买卖股票的最佳时机 III

1.题目描述

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

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输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

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输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   
     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   
     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

1
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3
输入：prices = [7,6,4,3,1] 
输出：0 
解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

1
2
输入：prices = [1]
输出：0

提示：

  • $1 <= prices.length <= 10^5$
  • $0 <= prices[i] <= 10^5$

2.题解

题目4：188. 买卖股票的最佳时机 IV

1.题目描述

2.题解

题目5：309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期

1.题目描述

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 *i* 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

  • 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

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输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

1
2
输入: prices = [1]
输出: 0

提示：

  • 1 <= prices.length <= 5000
  • 0 <= prices[i] <= 1000

2.题解

  • 图解：

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2.1 动态规划-二维数组

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        // dp数组，用于记录在不同状态下的最大利润
        // dp[i][0] 表示第i天结束时，持有股票的状态
        // dp[i][1] 表示第i天结束时，未持有股票，且未卖出股票的状态
        // dp[i][2] 表示第i天结束时，今天卖出股票的状态
        // dp[i][3] 表示第i天结束时，处于冷冻期的状态（即今天不能买股票的状态）
        int[][] dp = new int[prices.length][4];

        // 初始化第1天的状态
        dp[0][0] = -prices[0]; // 买入股票，成本是prices[0]
        dp[0][1] = 0;          // 第一天未持有股票，且未进行任何操作，所以利润为0
        dp[0][2] = 0;          // 第一天无法卖出，所以利润为0
        dp[0][3] = 0;          // 第一天不可能处于冷冻期，利润为0

        // 从第2天开始更新dp数组
        for(int i = 1; i < prices.length; i++) {
            // 第i天结束时持有股票，可能是前一天已经持有股票（dp[i-1][0]），
            // 或者今天买入股票（从dp[i-1][1]或dp[i-1][3]减去今天的股价）。
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], Math.max(dp[i-1][1] - prices[i], dp[i-1][3] - prices[i]));

            // 第i天结束时未持有股票，且未卖出股票的状态，可能是前一天未持有股票（dp[i-1][1]），
            // 或者前一天处于冷冻期（dp[i-1][3]）。
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]);

            // 第i天卖出股票，利润等于前一天持有股票的状态加上今天的股价
            dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];

            // 第i天结束时处于冷冻期的状态，意味着前一天卖出了股票（dp[i-1][2]）。
            dp[i][3] = dp[i-1][2];
        }

        // 返回最后一天的最大利润，可以是未持有股票的状态（dp[prices.length-1][1]），
        // 或者今天卖出股票的状态（dp[prices.length-1][2]），
        // 也可以是处于冷冻期的状态（dp[prices.length-1][3]）。
        return Math.max(dp[prices.length-1][1], Math.max(dp[prices.length-1][2], dp[prices.length-1][3]));
    }
}

2.2 动态规划-二维数组优化

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        // 使用滚动数组优化空间复杂度，将原本的dp数组简化为只有2行
        // dp[i % 2][0] 表示第i天结束时，持有股票的状态
        // dp[i % 2][1] 表示第i天结束时，未持有股票，且未卖出股票的状态
        // dp[i % 2][2] 表示第i天结束时，今天卖出股票的状态
        // dp[i % 2][3] 表示第i天结束时，处于冷冻期的状态
        int[][] dp = new int[2][4];

        // 初始化第1天的状态
        dp[0][0] = -prices[0]; // 买入股票，成本是prices[0]
        dp[0][1] = 0;          // 第一天未持有股票，且未进行任何操作，所以利润为0
        dp[0][2] = 0;          // 第一天无法卖出股票，利润为0
        dp[0][3] = 0;          // 第一天不可能处于冷冻期，利润为0

        // 从第2天开始更新dp数组
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 使用滚动数组，dp[i % 2] 表示第i天的状态，dp[(i - 1) % 2] 表示第i-1天的状态
            // 第i天结束时持有股票，可能是前一天已经持有股票（dp[(i - 1) % 2][0]），
            // 或者今天买入股票（从dp[(i - 1) % 2][1]或dp[(i - 1) % 2][3]减去今天的股价）。
            dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0],
                    Math.max(dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i], dp[(i - 1) % 2][3] - prices[i]));

            // 第i天结束时未持有股票，且未卖出股票，可能是前一天未持有股票（dp[(i - 1) % 2][1]），
            // 或者前一天处于冷冻期（dp[(i - 1) % 2][3]）。
            dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][3]);

            // 第i天卖出股票，利润等于前一天持有股票的状态加上今天的股价。
            dp[i % 2][2] = dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i];

            // 第i天处于冷冻期，意味着前一天卖出了股票（dp[(i - 1) % 2][2]）。
            dp[i % 2][3] = dp[(i - 1) % 2][2];
        }

        // 返回最后一天的最大利润，可以是未持有股票的状态（dp[(n - 1) % 2][1]），
        // 或者今天卖出股票的状态（dp[(n - 1) % 2][2]），
        // 也可以是处于冷冻期的状态（dp[(n - 1) % 2][3]）。
        return Math.max(dp[(n - 1) % 2][1], Math.max(dp[(n - 1) % 2][2], dp[(n - 1) % 2][3]));
    }
}

2.3 动态规划-一维数组

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        // dp数组用来记录四种状态下的最大利润
        // dp[0] 表示持有股票的状态
        // dp[1] 表示未持有股票且未卖出股票的状态
        // dp[2] 表示今天卖出股票的状态
        // dp[3] 表示处于冷冻期的状态
        int[] dp = new int[4];

        // 初始化第1天的状态
        dp[0] = -prices[0]; // 买入股票，成本是prices[0]
        dp[1] = 0;          // 第一天未持有股票，且未进行任何操作，利润为0
        dp[2] = 0;          // 第一天不能卖出股票，利润为0
        dp[3] = 0;          // 第一天不可能处于冷冻期，利润为0

        // 从第2天开始更新dp数组
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // 临时保存上一天的dp[0]和dp[2]的值，用于计算新的状态
            int temp1 = dp[0]; // 昨天持有股票的状态
            int temp2 = dp[2]; // 昨天卖出股票的状态

            // 计算今天持有股票的状态，可能是昨天已经持有股票(dp[0])，
            // 或者今天买入股票（从未持有状态dp[1]或冷冻期dp[3]减去今天的股价）。
            dp[0] = Math.max(dp[0], Math.max(dp[1] - prices[i], dp[3] - prices[i]));

            // 计算今天未持有股票且未卖出的状态，可能是昨天未持有股票(dp[1])，
            // 或者昨天处于冷冻期(dp[3])。
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[3]);

            // 计算今天卖出股票的状态，等于昨天持有股票的状态加上今天的股价。
            dp[2] = temp1 + prices[i];

            // 计算今天处于冷冻期的状态，等于昨天卖出股票的状态。
            dp[3] = temp2;
        }

        // 返回最后一天的最大利润，可能是未持有股票的状态(dp[1])，
        // 或者今天卖出股票的状态(dp[2])，或者处于冷冻期的状态(dp[3])。
        return Math.max(dp[1], Math.max(dp[2], dp[3]));
    }
}

题目6：714. 买卖股票的最佳时机含手续费

1.题目描述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1：

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输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:  
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8

示例 2：

1
2
输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3
输出：6

提示：

  • $1 <= prices.length <= 5 * 10^4$
  • $1 <= prices[i] < 5 * 10^4$
  • $0 <= fee < 5 * 10^4$

2.题解

2.1 动态规划-二维数组

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        // 定义dp数组，其中dp[i][0]表示第i天持有股票的状态下的最大利润
        // dp[i][1]表示第i天未持有股票的状态下的最大利润
        int[][] dp = new int[prices.length][2];

        // 初始化第1天的状态
        dp[0][0] = -prices[0]; // 第一天买入股票，初始利润为 -prices[0]
        dp[0][1] = 0;          // 第一天没有卖出股票，利润为0

        // 从第2天开始计算每一天的最大利润
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            // 第i天持有股票的最大利润：
            // 1. 可以选择不买入，保持前一天持有股票的状态（dp[i-1][0]）
            // 2. 也可以选择今天买入股票（前一天未持有股票的利润减去今天的股价：dp[i-1][1] - prices[i]）
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

            // 第i天未持有股票的最大利润：
            // 1. 可以选择不卖出，保持前一天未持有股票的状态（dp[i-1][1]）
            // 2. 也可以选择今天卖出股票（前一天持有股票的利润加上今天的股价，减去交易费：dp[i-1][0] + prices[i] - fee）
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
        }

        // 最终返回的是最后一天未持有股票的最大利润，即dp[prices.length - 1][1]
        return dp[prices.length - 1][1];
    }
}

2.2 动态规划-二维数组优化

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[2][2];

        // 初始化第1天的状态
        dp[0][0] = -prices[0]; // 第一天买入股票，初始利润为 -prices[0]
        dp[0][1] = 0;          // 第一天没有卖出股票，利润为0

        // 从第2天开始计算每一天的最大利润
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][0], dp[(i - 1) % 2][1] - prices[i]);
            dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i - 1) % 2][1], dp[(i - 1) % 2][0] + prices[i] - fee);
        }

        return dp[(n - 1) % 2][1];
    }
}

2.3 动态规划-一维数组

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class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        // 定义dp数组，其中dp[0]表示持有股票时的最大利润
        // dp[1]表示未持有股票时的最大利润
        int[] dp = new int[2];

        // 初始化第1天的状态
        dp[0] = -prices[0]; // 第一天买入股票，初始利润为 -prices[0]
        dp[1] = 0;          // 第一天没有卖出股票，利润为0

        // 从第2天开始计算每一天的最大利润
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            // 第i天持有股票的最大利润：
            // 1. 可以选择不买入，保持前一天持有股票的状态（dp[0]）
            // 2. 也可以选择今天买入股票，前一天未持有股票的利润减去今天的股价（dp[1] - prices[i]）
            dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i]);

            // 第i天未持有股票的最大利润：
            // 1. 可以选择不卖出，保持前一天未持有股票的状态（dp[1]）
            // 2. 也可以选择今天卖出股票，前一天持有股票的利润加上今天的股价，减去交易费（dp[0] + prices[i] - fee）
            dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i] - fee);
        }

        // 最终返回的是最后一天未持有股票的最大利润，即dp[1]
        return dp[1];
    }
}
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