分割等和子集 | LeetCode-416 | 动态规划

动态规划练习题

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LeetCode链接：1049.最后一块石头的重量 II

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1.题目描述

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

2.题解

2.1 动态规划

class Solution {
    // 定义一个公共方法 numTrees，它接受一个整数 n 作为参数
    public int numTrees(int n) {
        // 初始化一个动态规划数组，长度为 n + 1，并且所有元素初始化为 0
        int[] dp = new int[n + 1];

        // 边界条件：0个节点和1个节点的情况下，只有一种构建BST的方式
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;

        // 从 2 开始遍历到 n
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // 遍历所有可能的根节点值 j（从 0 到 i-1）
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                // dp[i] 表示 i 个节点的不同BST数量
                // 对于每一个根节点 j，左子树有 j 个节点，右子树有 i - 1 - j 个节点
                // 根据组合公式，累加 dp[j] 和 dp[i - 1 - j] 的乘积
                dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j];
            }
        }
        
        // 返回 n 个节点的不同BST数量
        return dp[n];
    }
}

2.2 数学

• 卡塔兰数：

  $C_0=1,\quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n$

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 提示：我们在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}