不同的二叉搜索树 | LeetCode-96 | 动态规划

动态规划练习题

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LeetCode链接：96. 不同的二叉搜索树

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1.题目描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 19

2.题解

2.1 动态规划

class Solution {
    // 定义一个公共方法 numTrees，它接受一个整数 n 作为参数
    public int numTrees(int n) {
        // 初始化一个动态规划数组，长度为 n + 1，并且所有元素初始化为 0
        int[] dp = new int[n + 1];

        // 边界条件：0个节点和1个节点的情况下，只有一种构建BST的方式
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;

        // 从 2 开始遍历到 n
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            // 遍历所有可能的根节点值 j（从 0 到 i-1）
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                // dp[i] 表示 i 个节点的不同BST数量
                // 对于每一个根节点 j，左子树有 j 个节点，右子树有 i - 1 - j 个节点
                // 根据组合公式，累加 dp[j] 和 dp[i - 1 - j] 的乘积
                dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j];
            }
        }
        
        // 返回 n 个节点的不同BST数量
        return dp[n];
    }
}

2.2 数学

• 卡塔兰数：

  $C_0=1,\quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n$

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        // 提示：我们在这里需要用 long 类型防止计算过程中的溢出
        long C = 1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
        }
        return (int) C;
    }
}