不同路径 | LeetCode-62 | 动态规划

动态规划练习题

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LeetCode链接：62. 不同路径

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题目1:62. 不同路径

1.题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 $2 * 10^9$

2.题解

2.1 动态规划

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 创建一个大小为 m * n 的二维数组 dp，用于存储每个位置的路径数
        int[][] dp = new int[m][n];

        // 初始化第一行，机器人只能向右走，因此每个位置都有唯一一条路径
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[0][i] = 1;
        }

        // 初始化第一列，机器人只能向下走，因此每个位置都有唯一一条路径
        for(int i = 0; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }

        // 填充 dp 数组，其它位置的路径数为上方位置和左侧位置的路径数之和
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        // 返回终点位置的路径数，即右下角的 dp[m-1][n-1]
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

2.2 动态规划优化

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 创建一个长度为 n 的一维数组 dp，用于存储每列的路径数
        // 初始时表示从起点 (0, 0) 到达每个列位置的路径数
        int[] dp = new int[n];

        // 初始化第一行，机器人只能向右走，因此第一行每个位置都有唯一一条路径
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[i] = 1;
        }

        // 从第二行开始，逐行更新路径数
        // 每一行的路径数可以通过当前列上方的路径数（dp[j]）和左侧的路径数（dp[j - 1]）累加得到
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]; // 上方的路径数 + 左侧的路径数
                // dp[j]     代表上方的路径数
                // dp[j - 1] 代表左侧的路径数
            }
        }

        // 返回终点位置的路径数，即最后一列的 dp[n - 1]
        return dp[n - 1];
    }
}

2.3 组合数

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        // 使用一个 long 类型的变量 result 来保存计算结果，避免中间计算过程中的整数溢出
        long result = 1;

        // 通过组合数学公式计算唯一路径数
        // 循环的目的是计算公式 C(m+n-2, n-1) 或 C(m+n-2, m-1)
        // 公式表示在 m-1 次向下移动和 n-1 次向右移动中选择 m-1 或 n-1 的组合数
        // 即 C(m+n-2, n-1) = (n * (n+1) * ... * (m+n-2)) / ((m-1)!)
        for(int x = n, y = 1; y < m; x++, y++){
            result = result * x / y; // 每次计算当前组合的部分结果
        }

        // 返回最终结果，将 long 类型转换为 int 类型
        return (int) result;
    }
}

题目2：63. 不同路径 II

1.题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

• m == obstacleGrid.length
• n == obstacleGrid[i].length
• 1 <= m, n <= 100
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

2.题解

2.1 动态规划

class Solution {
    public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.length;
        int n = obstacleGrid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] == 0; i++)
            dp[0][i] = 1;
        for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++)
            dp[i][0] = 1;

        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if (obstacleGrid[i][j] == 1)
                    continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}