爬楼梯 | LeetCode-70 | 动态规划

动态规划练习题

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LeetCode链接：70. 爬楼梯

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1.题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

2.题解

2.1 动态规划

class Solution {
    public int fib(int n) {
        // 动态规划求斐波那契数列
        // 如果 n 是 0 或 1，直接返回 n，因为 fib(0) = 0，fib(1) = 1
        if (n <= 1) return n;

        // 初始化变量：a 表示前一个斐波那契数（fib(i-2)），b 表示当前斐波那契数（fib(i-1)）
        int a = 0, b = 1, c = 0;

        // 从 2 开始计算斐波那契数，一直到 n
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            // c 表示下一个斐波那契数，即 fib(i) = fib(i-1) + fib(i-2)
            c = a + b;
            // 更新 a 和 b，准备计算下一个斐波那契数
            a = b;
            b = c;
        }
        // 返回 fib(n)，即最终计算出的斐波那契数列的第 n 项
        return c;
    }
}

2.2 递归(超时)

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        //递归
        if(n <= 2) return n;
        return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
    }
}

3.爬楼梯进阶

3.1 题目描述

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

输入描述

输入共一行，包含两个正整数，分别表示n, m

输出描述

输出一个整数，表示爬到楼顶的方法数。

输入示例

3 2

输出示例

3

提示信息

数据范围：
1 <= m < n <= 32;

当 m = 2，n = 3 时，n = 3 这表示一共有三个台阶，m = 2 代表你每次可以爬一个台阶或者两个台阶。

此时你有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶段
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

3.2 题解

import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static void main(String[] args){
        // 1. 读取输入：使用 Scanner 类从控制台读取两个整数 n 和 m
        Scanner sc  = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();  // 读取要爬的台阶数 n
        int m = sc.nextInt();  // 读取每次最多可以爬的台阶数 m
        
        // 2. 初始化一个大小为 n+1 的数组 d，用于存储每个台阶位置的爬法数
        int[] d = new int[n+1];
        
        // 3. 初始条件：当 i = 0 时，表示不需要爬任何台阶，只有一种方式，即不动，所以 d[0] = 1
        d[0] = 1;
        
        // 4. 动态规划计算每一级台阶的爬法数
        // 外层循环从 1 开始到 n，逐步计算每一级台阶的爬法数
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            // 内层循环从 1 到 m，表示可以从前面的 m 个台阶跳过来
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                // 如果当前台阶 i 减去 j（前一个台阶的位置）大于等于 0，
                // 说明可以从第 i-j 个台阶跳到第 i 个台阶
                if(i - j >= 0 ) d[i] += d[i-j];
            }
        }
        
        // 5. 输出结果，打印出爬到第 n 级台阶的总爬法数
        System.out.println(d[n]);
    }
}