排列硬币 | LeetCode-441 | 一个简单的数学题！

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LeetCode链接：441. 排列硬币

1.题目描述

你总共有 n 枚硬币，并计划将它们按阶梯状排列。对于一个由 k 行组成的阶梯，其第 i 行必须正好有 i 枚硬币。阶梯的最后一行 可能 是不完整的。

给你一个数字 n ，计算并返回可形成 完整阶梯行 的总行数。

示例 1：

输入：n = 5
输出：2
解释：因为第三行不完整，所以返回 2 。

示例 2：

输入：n = 8
输出：3
解释：因为第四行不完整，所以返回 3 。

提示：

• $1 <= n <= 2^{31} - 1$

2.题解

2.1 公式解法

class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        // 使用数学公式求解排列硬币问题
        // 使用 long 类型防止溢出
        long num = (long) n;

        // 计算公式：
        // 完整行数 k 满足的方程：k * (k + 1) / 2 <= n
        // 变形成：k^2 + k <= 2 * n
        // 转化为求解 k 的公式：k = (sqrt(8 * n + 1) - 1) / 2

        // 计算 k 的值，并将结果转换为 int 类型返回
        return (int) ((Math.sqrt(8 * num + 1) - 1) / 2);
    }
}

2.2 暴力解法

class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        // 初始化变量i为0，用于表示行数
        int i = 0;
        // 循环判断能够放多少行完整的硬币
        while (i <= n) {
            // 增加行数
            i++;
            // 计算当前行数需要的硬币总数，使用long类型防止溢出
            long coins = (long) i * (1 + i) / 2;
            // 如果当前行数需要的硬币总数大于n，退出循环
            if (coins > n) break;
        }
        // 返回完整行数的数量
        return i - 1;
    }
}

2.3 二分查找

class Solution {
    public int arrangeCoins(int n) {
        // 初始化二分查找的左边界和右边界
        int left = 1, right = n;

        // 使用二分查找寻找最大完整行数
        while (left <= right) {
            // 计算中间位置，防止整型溢出
            int mid = left + (right - left) / 2;

            // 计算当前中间位置能放的硬币总数，使用 long 类型防止溢出
            long num = (long) mid * (1 + mid) / 2;

            // 如果 n 小于当前总数，则说明完整行数过多，缩小右边界
            if (n < num) {
                right = mid - 1; // 修正为 right
            } else {
                // 否则，说明当前行数可以放下 n，增加左边界
                left = mid + 1;
            }
        }

        // 返回右边界，即最大完整行数
        return right; // 返回完整行数
    }
}